题目内容
如图,二次函数y=-
x2+mx+m+
的图象与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点D在第一象限.过点D作x轴的垂线,垂足为H.
(1)当m=
时,求tan∠ADH的值;
(2)当60°≤∠ADB≤90°时,求m的变化范围;
(3)设△BCD和△ABC的面积分别为S1、S2,且满足S1=S2,求点D到直线BC的距离.
1 |
2 |
1 |
2 |
(1)当m=
3 |
2 |
(2)当60°≤∠ADB≤90°时,求m的变化范围;
(3)设△BCD和△ABC的面积分别为S1、S2,且满足S1=S2,求点D到直线BC的距离.
(1)∵当m=
时,y=-
x2+
x+2=-
(x-
)2+
,
∴顶点D(
,
),与x轴的交点A(-1,0),B(4,0),
∴DH=
,AH=
-(-1)=
,
∴tan∠ADH=
=
=
;
(2)y=-
x2+mx+m+
=-
(x-m)2+
,
∴顶点D(m,
),
令y=-
x2+mx+m+
=0,解得:x=-1或2m+1
则与x轴的交点A(-1,0),B(2m+1,0),
∴DH=
,AH=m-(-1)=m+1,
∴tan∠ADH=
=
.
当60°≤∠ADB≤90°时,由对称性得30°≤∠ADH≤45°,
∴当∠ADH=30°时,
=
,
∴m=2
-1,
当∠ADH=45°时,
=1,
∴m=1,
∴1≤m≤2
-1;
(3)设DH与BC交于点M,则点M的横坐标为m.
设过点B(2m+1,0),C(0,m+
)的直线解析式为;y=kx+b,
则
,
解得
,
即y=-
x+m+
.
当x=m时,y=-
m+m+
=
,
∴M(m,
).
∴DM=
-
=
,AB=(2m+1)-(-1)=2m+2,
又,∵S△DBC=S△ABC,
∴
•(2m+1)=(2m+2)•(m+
),
又∵抛物线的顶点D在第一象限,
∴m>0,解得m=2.
当m=2时,A(-1,0),B(5,0),C(0,
),
∴BC=
=
,
∴S△ABC=
×6×
=
.
设点D到直线BC的距离为d.
∵S△DBC=
BC•d,
∴
×
•d=
,
∴d=
.
答:点D到直线BC的距离为
.
3 |
2 |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
3 |
2 |
25 |
8 |
∴顶点D(
3 |
2 |
25 |
8 |
∴DH=
25 |
8 |
3 |
2 |
5 |
2 |
∴tan∠ADH=
AH |
DH |
| ||
|
4 |
5 |
(2)y=-
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
(m+1)2 |
2 |
∴顶点D(m,
(m+1)2 |
2 |
令y=-
1 |
2 |
1 |
2 |
则与x轴的交点A(-1,0),B(2m+1,0),
∴DH=
(m+1)2 |
2 |
∴tan∠ADH=
m+1 | ||
|
2 |
m+1 |
当60°≤∠ADB≤90°时,由对称性得30°≤∠ADH≤45°,
∴当∠ADH=30°时,
2 |
m+1 |
| ||
3 |
∴m=2
3 |
当∠ADH=45°时,
2 |
m+1 |
∴m=1,
∴1≤m≤2
3 |
(3)设DH与BC交于点M,则点M的横坐标为m.
设过点B(2m+1,0),C(0,m+
1 |
2 |
则
|
解得
|
即y=-
1 |
2 |
1 |
2 |
当x=m时,y=-
1 |
2 |
1 |
2 |
m+1 |
2 |
∴M(m,
m+1 |
2 |
∴DM=
(m+1)2 |
2 |
m+1 |
2 |
m(m+1) |
2 |
又,∵S△DBC=S△ABC,
∴
m(m+1) |
2 |
1 |
2 |
又∵抛物线的顶点D在第一象限,
∴m>0,解得m=2.
当m=2时,A(-1,0),B(5,0),C(0,
5 |
2 |
∴BC=
52+(
|
5
| ||
2 |
∴S△ABC=
1 |
2 |
5 |
2 |
15 |
2 |
设点D到直线BC的距离为d.
∵S△DBC=
1 |
2 |
∴
1 |
2 |
5
| ||
2 |
15 |
2 |
∴d=
6
| ||
5 |
答:点D到直线BC的距离为
6
| ||
5 |
练习册系列答案
相关题目