Question

17．如图所示是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）与正比例函数y=x（x≥0）的图象，点A（1，4）与点B′均在反比例函数的图象上，点B在直线y=x上，点A′是点A关于直线y=x的对称点，四边形AA′B′B是平行四边形．
（1）试说明点A′在反比例函数图象上；
（2）设点B的横坐标为m，试用m表示出点B′的坐标并求出m的值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，关键题意求得A′的坐标，代入反比例函数的解析式即可验证；
（2）由已知得出B的坐标，根据平行四边形的性质得出B′可由B（m，m）沿AA′方向平移而得，由平移规律，可知点B′的坐标为（m+3，m-3），由于点B′在反比例函数的图象上，所以（m+3）（m-3）=4，即可求得m的值．

解答 解：（1）∵点A（1，4）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）图象上，
∴k=1×4=4，
∵点A′是点A关于直线Y=X的对称点，
∴点A′为（4，1），
当X=4时，代入y=$\frac{4}{x}$中，y=1，
∴点点A′在反比例函数图象上；
（2）∵点B在直线y=x上，又点B的横坐标为m，
∴点B的坐标为（m，m），
∵四边形AA′B′B是平行四边形，
∴AA′与BB′平行且相等，
∴B′可由B（m，m）沿AA′方向平移而得，
由平移规律，可知点B′的坐标为（m+3，m-3），
∵点B′在反比例函数的图象上，
∴（m+3）（m-3）=4，
解得m=±$\sqrt{13}$，
∵m＞0，
∴m=$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，平移的性质，熟练掌握性质是解题的关键．