Question

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点．
（1）猜一猜，MN与BD的位置关系，并证明你的结论；
（2）如果∠BCD=45°，BD=2，求MN的长．

Answer 1

（1）猜想MN⊥BD．
证明：连接BM，DM，∵∠ABC=90°，
AM=MC，
∴BM=

1

2

AC，
同理DM=

1

2

AC，
∴BM=DM，
∵BN=ND，
∴MN⊥BD

（2）∵AM=BM，
∴∠BMC=∠MAB+∠ABM=2∠BAM，
同理∠CMD=2∠CAD，
∴∠BMD=2∠BCD=90°，
∵BM=MD，
∴△BMD是等腰直角三角形（9分），
∴MN=

1

2

BD=1．