Question

如图，BD平分∠ADC，∠A=∠B=90°，OA=OB．求证：CA平分∠DCB．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：由BD为角平分线得到一对角相等，再由已知直角相等得到三角形AOD与三角形BDC相似，由相似三角形对应角相等得到一对角相等，再由对顶角相等，等量代换得到一对角相等，进而确定出三角形BCO与三角形BCD相似，利用相似三角形对应角相等得到∠BCO=∠BDC=∠ADO，再由对顶角相等，AO=BO，利用AAS得到三角形AOD与三角形BOC全等，利用全等三角形对应边相等得到OD=OC，利用等边对等角及等量代换即可得证．

解答：证明：∵∠A=∠B=90°，BD平分∠ADC，即∠ADO=∠BDC，
∴△ADO∽△BDC，
∴∠AOD=∠BCD，
∵∠AOD=∠BOC，
∴∠BCD=∠BOC，
∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△BOC，
∴∠BCO=∠BDC=∠ADO，
在△ADO和△BCO中，

∠ADO=∠BCO ∠AOD=∠BOC OA=OB

，
∴△AOD≌△BCO（AAS），
∴OD=OC，
∴∠OCD=∠BDC，
∴∠OCD=∠BCO，
则CA平分∠DCB．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．