Question

7．如图，在矩形ABCD中，点A为坐标原点，点B在x轴正半轴，点D在y轴正半轴，点C坐标为（6，m），点E是CD的中点，以CE为一边在矩形ABCD的内部作矩形CEFG，使点F在直线y=x上，交线段BC于点G，直线DG的函数表达式为y=-$\frac{1}{6}$x+4，直线DG和AF交于点H．
（1）求m的值；
（2）求点H的坐标；
（3）判断直线BE是否经过点H，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据矩形性质和直线DG的与y轴的交点，确定出点C，B，D的坐标，即可；
（2）由两条直线的解析式联立即可求出点H的坐标；
（3）确定出直线BE的解析式，再判断点H是否在该直线上．

解答 解：（1）∵直线DG的函数表达式为y=-$\frac{1}{6}$x+4，
∴D（0，4），
∵四边形ABCD是矩形，且C（6，m），
∴m=4，
∴C（6，4）
（2）∵直线AF：y=x与直线DG：y=-$\frac{1}{6}$x+4的交点为H，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{1}{6}x+4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{24}{7}}\\{y=\frac{24}{7}}\end{array}\right.$，
∴H（$\frac{24}{7}$，$\frac{24}{7}$）
（3）直线BE过点H，
理由：
∵直线DG解析式为y=-$\frac{1}{6}$x+4，直线BC解析式为x=6，
∴G（6，3），
∴点F的纵坐标为3，
∵点F在直线AF上，
∴F点的横坐标为3，
∴F（3，3），
∴点E的横坐标为3，
∵直线DC解析式为y=4，
∴E（3，4），
∵B（6，0），
∴直线BE解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+8，
当x=$\frac{24}{7}$时，y=-$\frac{4}{3}$×$\frac{24}{7}$+8=$\frac{24}{7}$，
∴直线BE过点H．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，待定系数法求函数解析式，确定直线的交点坐标的方法，解本题的关键是确定直线的解析式．