题目内容
17．如图，抛物线y=$\frac{2}{3}$x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，-2），直线l：y=-$\frac{2}{3}$x-$\frac{2}{3}$交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）．（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值．
（3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．
分析 （1）把B（3，0），C（0，-2）代入y=$\frac{2}{3}$x2+bx+c解方程组即可得到结论；
（2）设P（m，$\frac{2}{3}$m2-$\frac{4}{3}$m-2），得到N（m，-$\frac{2}{3}$m-$\frac{2}{3}$），M（-m2+2m+2，$\frac{2}{3}$m2-$\frac{4}{3}$m-2），根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）求得E（0，-$\frac{2}{3}$），得到CE=$\frac{4}{3}$，设P（m，$\frac{2}{3}$m2-$\frac{4}{3}$m-2），①以CE为边，根据CE=PF，列方程得到m=1，m=0（舍去），②以CE为对角线，连接PF交CE于G，CG=GE，PG=FG，得到G（0，-$\frac{4}{3}$），设P（m，$\frac{2}{3}$m2-$\frac{4}{3}$m-2），则F（-m，$\frac{2}{3}$m-$\frac{2}{3}$），列方程得到此方程无实数根，于是得到结论．
解答 解：（1）把B（3，0），C（0，-2）代入y=$\frac{2}{3}$x2+bx+c得，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}×{3}^{2}+3b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{4}{3}}\\{c=-2}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{2}{3}$x2-$\frac{4}{3}$x-2；
（2）设P（m，$\frac{2}{3}$m2-$\frac{4}{3}$m-2），
∵PM∥x轴，PN∥y轴，M，N在直线AD上，
∴N（m，-$\frac{2}{3}$m-$\frac{2}{3}$），M（-m2+2m+2，$\frac{2}{3}$m2-$\frac{4}{3}$m-2），
∴PM+PN=-m2+2m+2-m-$\frac{2}{3}$m-$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{3}$m2+$\frac{4}{3}$m+2=-$\frac{5}{3}$m2+$\frac{5}{3}$m+$\frac{10}{3}$=-$\frac{5}{3}$（m-$\frac{1}{2}$）2+$\frac{15}{4}$，
∴当m=$\frac{1}{2}$时，PM+PN的最大值是$\frac{15}{4}$；
（3）能，
理由：∵y=-$\frac{2}{3}$x-$\frac{2}{3}$交y轴于点E，
∴E（0，-$\frac{2}{3}$），
∴CE=$\frac{4}{3}$，
设P（m，$\frac{2}{3}$m2-$\frac{4}{3}$m-2），
若以E，C，P，F为顶点的四边形能构成平行四边形，
①以CE为边，∴CE∥PF，CE=PF，
∴F（m，-$\frac{2}{3}$m-$\frac{2}{3}$），
∴-$\frac{2}{3}$m-$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{3}$m2+$\frac{4}{3}$m+2=$\frac{4}{3}$，或$\frac{2}{3}$m2-$\frac{4}{3}$m-2+$\frac{2}{3}$m+$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∴m1=1，m2=0（舍去），m3=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，m4=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，
②以CE为对角线，连接PF交CE于G，
∴CG=GE，PG=FG，
∴G（0，-$\frac{4}{3}$），
设P（m，$\frac{2}{3}$m2-$\frac{4}{3}$m-2），则F（-m，$\frac{2}{3}$m-$\frac{2}{3}$），
∴$\frac{1}{2}$×（$\frac{2}{3}$m2-$\frac{4}{3}$m-2+$\frac{2}{3}$m-$\frac{2}{3}$）=-$\frac{4}{3}$，
∴m=1，m=0（舍去），
综上所述，F（1，-$\frac{4}{3}$），（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{\sqrt{17}}{3}$），（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{\sqrt{17}}{3}$），（-1，0）以E，C，P，F为顶点的四边形能构成平行四边形．
点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．
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某电脑公司现有A、B、C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑．希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．
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