Question

13．如图1，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在AB和AC上，且∠ADC=∠AEB=90°，则CD=BE．
探究发现：
如图2，在△ABC中，仍然有条件“AB=AC，点D，E分别在AB和AC上”．若∠ADC+∠AEB=180°，则CD与BE是否仍相等？若相等，请证明；若不相等，请举反例说明．

Answer 1

分析 分别作CF⊥AB，BG⊥AC，先证得△FBC≌△GCB，得出CF=BG，进而证得△CFD≌△BGE即可证得CD=BE．

解答 解：CD=BE．
证明如下：如图2，分别作CF⊥AB，BG⊥AC，
∴∠CBF=90°，∠BGC=90°．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△FBC和△GCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBF=∠BGC}\\{∠ABC=∠ACB}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴△FBC≌△GCB（AAS）．
∴CF=BG，
∵∠ADC+∠AEB=180°，
又∵∠BEG+∠AEB=180°，
∴∠ADC=∠BEG，
在△CFD和△BGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CFD=∠BGE=90°}\\{∠ADC=∠BEG}\\{CF=BG}\end{array}\right.$，
∴△CFD≌△BGE（AAS），
∴CD=BE．

点评 本题考查了三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．