题目内容
10．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=3，BC=4，点E在直角边AC上（点E与A、C两点均不重合），点F在斜边AB上（点F与A、B两点均不重合）．（1）若EF平分Rt△ABC的周长，设AE长为x，△AEF的面积为y，试写出y与x的函数关系式；
（2）若△AEF的面积为$\frac{16}{5}$，则AE的长为多少？
（2）是否存在线段EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出此时AE的长；若不存在，说明理由．
分析 （1）根据AE=x得到AF，过点F作FD⊥AC于D，然后表示出DF，利用三角形的面积列出两个变量之间的关系式即可；
（2）根据△AEF的面积为$\frac{16}{5}$列出方程，解方程即可；
（3）根据EF平分三角形ABC的面积列出有关x的一元二次方程，求出的解有意义即可判定存在．
解答 
解：（1）∵在直角三角形ABC中，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴三角形ABC的周长为12，
又∵EF平分三角形ABC的周长，
∴AE+AF=6，而AE=x，
∴AF=6-x．
过点F作FD⊥AC于D，
则$\frac{DF}{AF}$=sinA=$\frac{BC}{AB}$，
∴$\frac{DF}{6-x}$=$\frac{4}{5}$，
∴DF=$\frac{4}{5}$（6-x），
∴y=$\frac{1}{2}$AE•DF=$\frac{1}{2}$x•$\frac{4}{5}$（6-x）=-$\frac{2}{5}$x2+$\frac{12}{5}$x（1＜x＜3）；
（2）∵△AEF的面积为$\frac{16}{5}$，
∴-$\frac{2}{5}$x2+$\frac{12}{5}$x=$\frac{16}{5}$，
解得x=2或4，
4不合题意，舍去，
∴x=2，即AE的长为2；
（3）这样的EF存在，
S△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AC=$\frac{1}{2}$×4×3=6
∵EF平分△ABC的面积，
所以-$\frac{2}{5}$x2+$\frac{12}{5}$x=3，
解得：x=$\frac{6±\sqrt{6}}{2}$．
∵1＜x＜3
∴x取$\frac{6-\sqrt{6}}{2}$，
∴6-x=6-$\frac{6-\sqrt{6}}{2}$=$\frac{6+\sqrt{6}}{2}$＜5，
符合题意，所以这样的EF存在，此时AE=$\frac{6-\sqrt{6}}{2}$．
点评 本题考查了一元二次方程的应用及根据实际问题列出二次函数关系式，解题的关键是根据已知条件表示出有关的线段的长．
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