Question

20．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（4，3）、B（4，1），把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A₁B₁C．
（1）画出△A₁B₁C，直接写出点A₁、B₁的坐标；
（2）求在旋转过程中，△ABC所扫过的面积．

Answer 1

分析 （1）根据旋转中心方向及角度找出点A、B的对应点A₁、B₁的位置，然后顺次连接即可，根据A、B的坐标建立坐标系，据此写出点A₁、B₁的坐标；
（2）利用勾股定理求出AC的长，根据△ABC扫过的面积等于扇形CAA₁的面积与△ABC的面积和，然后列式进行计算即可．

解答 解：（1）所求作△A₁B₁C如图所示：

由A（4，3）、B（4，1）可建立如图所示坐标系，
则点A₁的坐标为（-1，4），点B₁的坐标为（1，4）；

（2）∵AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，∠ACA₁=90°
∴在旋转过程中，△ABC所扫过的面积为：
S_扇形CAA1+S_△ABC
=$\frac{90π•（\sqrt{13}）^{2}}{360}$+$\frac{1}{2}$×3×2
=$\frac{13π}{4}$+3．

点评 本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点位置作出图形是解题的关键．