Question

1．在?ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，∠ADE=∠CBF．
（Ⅰ）求证：AE=CF；
（Ⅱ）若DF=BF，求证：EF⊥BD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据全等三角形的判定定理证明△ADE≌△CBF，即可证得结论；
（2）证明四边形DEBF是菱形，即可得出结论．

解答 （Ⅰ）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
在△ADE和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}&{\;}\\{AD=BC}&{\;}\\{∠ADE=∠CBF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE=CF；
（Ⅱ）证明：∵AE=CF，DF=BF，
∴DF=BE，∵DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形，
∴EF⊥BD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．