Question

7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（0，2），（1，0），顶点C在函数y=$\frac{1}{3}$x²+bx-1的图象上，将正方形ABCD沿x轴正方形平移后得到正方形A′B′C′D′，点D的对应点D′落在抛物线上，则点D与其对应点D′间的距离为2．

Answer 1

分析 作辅助线，构建全等三角形，先根据A和B的坐标求OB和OA的长，证明∴△AOB≌△BGC，BG=OA=2，CG=OB=1，写出C（3，1），同理得：△BCG≌△CDH，得出D的坐标，根据平移的性质：D与D′的纵坐标相同，则y=3，求出D′的坐标，计算其距离即可．

解答 解：如图，过C作GH⊥x轴，交x轴于G，过D作DH⊥GH于H，
∵A（0，2），B（1，0），
∴OA=2，OB=1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ABO+∠CBG=90°，
∵∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠CBG=∠OAB，
∵∠AOB=∠BGC=90°，
∴△AOB≌△BGC，
∴BG=OA=2，CG=OB=1，
∴C（3，1），
同理得：△BCG≌△CDH，
∴CH=BG=2，DH=CG=1，
∴D（2，3），
∵C在抛物线的图象上，
把C（3，1）代入函数y=$\frac{1}{3}$x²+bx-1中得：b=-$\frac{1}{3}$，
∴y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{1}{3}$x-1，
设D（x，y），
由平移得：D与D′的纵坐标相同，则y=3，
当y=3时，$\frac{1}{3}$x²-$\frac{1}{3}$x-1=3，
解得：x₁=4，x₂=-3（舍），
∴DD′=4-2=2，
则点D与其对应点D′间的距离为2，
故答案为：2．

点评 本题考查出了二次函数图象与几何变换--平移、三角形全等的性质和判定、正方形的性质，作辅助线，构建全等三角形，明确D与D′的纵坐标相同是关键．