Question

13．如图，抛物线y=-x²+2x+8交x轴于A、B，直线y=x+m与抛物线交于点A、D，与y轴交于点C，点D纵坐标为5
（1）求的m值和△BCD的面积S．
（2）点P为抛物线在第一象限的图象上一点，直线PC交x轴于点E，若PC=3CE，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，点Q为x轴上一点，把△PCQ沿CQ翻折，点P刚好落在x轴上的点G处，求Q点坐标．

Answer 1

分析 （1）首先根据抛物线的解析式求得点A和点B的坐标，然后将点A代入直线的解析式即可求得m的值，然后根据点D的纵坐标求得点D和点C的坐标，从而求得S；
（2）设P（m，-m²+2m+8），作PH⊥x轴，交x轴于点H，从而得到△EOC∽△EHP，利用相似三角形对应边的比相等得到PH=4OC，从而列出方程-m²+2m+8=4×2，求得m的值即可确定点的坐标；
（3）作PK⊥y轴，从而得到PK=2，KC=8-2=6，然后由翻折得△CQG≌△CQP，从而得到QG=QP，CG=CP=2$\sqrt{10}$，然后在Rt△OCG中求得GO的长即可求得点G的坐标．

解答 解：（1）∵y=-x²+2x+8交x轴于A、B，
∴y=-x²+2x+8=0，
解得：x=-2或x=4，
∴A（-2，0），（4，0），
∵直线y=x+m经过点A，
∴-2+m=0，
解得：m=2，
所以直线的解析式为：y=x+2，
令x=0，得y=2，
∴点C的坐标为（0，2），
∵D的纵坐标为5，
∴5=x+2，
解得：x=3
∴D（3，5），
∴S=S_△BAD-S_△BAC=$\frac{1}{2}$×6×3-$\frac{1}{2}$×6×2=9-6=3；

（2）设P（m，-m²+2m+8），
作PH⊥x轴，交x轴于点H，
∴CO∥PH，
∴△EOC∽△EHP，
∴$\frac{EC}{EP}=\frac{CO}{PH}$，
∵PC=3CE，
∴$\frac{EC}{EP}=\frac{CO}{PH}=\frac{1}{4}$，
∴PH=4OC，
∴-m²+2m+8=4×2，
解得 m=2，或m=0（舍去），
∴P（2，8）；

（3）作PK⊥y轴，
∴PK=2，KC=8-2=6，
在Rt△CPK中，CP=2$\sqrt{10}$，
由翻折得△CQG≌△CQP，
∴QG=QP，CG=CP=2$\sqrt{10}$，
在Rt△OCG中，
∵CP=2$\sqrt{10}$，OC=2，
∴GO=6，
∴G（6，0）或G（-6，0），
过P作PH⊥x轴，则H（2，0），且PH=8，
设Q（n，0）
则QP²=PH²+QH²=8²+（n-2）²，
GQ=|x_Q-x_G|=|n-（±6）|
因为QG=QP，
8²+（n-2）²=[n-（±6）]²，
解得n=-4，或n=2，
∴Q（-4，0）或Q（2，0）．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法确定二次函数的解析式．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．