Question

已知点P在∠AOB内，点D，E分别在边OA，OB上．
（1）如图1，若∠PDO=90°，∠PEO=90°，且PD=PE，求证：点P在∠AOB的平分线上；
（2）如图2，若∠PDO+∠PEO=180°，且PD=PE，问：点P是否在∠AOB的平分线上？试证明你的结论．

Answer 1

考点：角平分线的性质

专题：

分析：（1）利用“HL”证明Rt△ODP和Rt△OEP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DOP=∠EOP，再根据角平分线的定义证明；
（2）过点P作PF⊥OA于F，作PG⊥OB于G，先求出∠DPE=∠FPG，再求出∠DPF=∠EPG，然后利用“角角边”证明△PDF和△PEG全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=PG，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上解答．

解答：（1）证明：在Rt△ODP和Rt△OEP中，

OP=OP PD=PE

，
∴Rt△ODP≌Rt△OEP（HL），
∴∠DOP=∠EOP，
∴点P在∠AOB的平分线上；

（2）解：如图，过点P作PF⊥OA于F，作PG⊥OB于G，
∴∠FPG+∠O=180°，
∵∠PDO+∠PEO=180°，
∴∠DPE+∠O=180°，
∴∠DPE=∠FPG，
∴∠DPF=∠EPG，
在△PDF和△PEG中，

∠DPF=∠EPG ∠DFP=∠EGP=90° PD=PE

，
∴△PDF≌△PEG（AAS），
∴PF=PG，
又∵PF⊥OA，PG⊥OB，
∴点P在∠AOB的平分线上．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的证明，全等三角形的判定与性质，熟记性质并理解证明方法是解题的关键．