Question

如图1的图形，像我们常见的风筝．我们不妨把这样图形叫做“筝形”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？
下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
观察“筝形”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：

①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=58°，则∠ABX+∠ACX=

 

°；
②如图3，已知DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=60°，∠DBE=150°，则∠DCE=

 

°；
②如图4，已知∠ABD，∠ACD 的10等分线相交于点G₁、G₂…、G₉，若∠BDC=140°，∠B G₁C=77°，则∠A=

 

°．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：计算题

分析：根据三角形外角性质得∠3=∠B+∠1，∠4=∠2+∠C，然后把两式相加即可得到∠BDC=∠A+∠B+∠C；
①由前面的结论得∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX，所以∠ABX+∠ACX=90°-58°=32°；
②由前面的结论得到∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC，∠DBE=∠DCE+∠BDC+∠BEC，再根据角平分线的定义得∠ADC=∠BDC，∠ACE=∠BEC，所以∠DBE-∠DCE=∠DCE-∠A，然后把∠DAE=60°，∠DBE=150°代入计算即可；
③由前面的结论得∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD，∠BG₁C=∠A+∠ABG₁+∠ACG₁，而∠ABD，∠ACD 的10等分线相交于点G₁、G₂…、G₉，则∠ABG₁=

1

10

∠ABD，∠ACG₁=

1

10

∠ACD，所以10∠BG₁C=10∠A+∠ABD+∠ACD，利用等式的性质得到10∠BG₁C-∠BDC=9∠A，即有∠A=

1

9

（10×77°-140°）=70°．

解答：解：∠BDC=∠A+∠B+∠C．理由如下：
作射线AD，如图，
∵∠3=∠B+∠1，∠4=∠2+∠C，
∴∠3+∠4=∠1+∠2+∠B+∠C，
即∠BDC=∠A+∠B+∠C；
①∵∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX，
∴∠ABX+∠ACX=90°-58°=32°；
②∵∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC，∠DBE=∠DCE+∠BDC+∠BEC，
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴∠ADC=∠BDC，∠ACE=∠BEC，
∴∠DBE-∠DCE=∠DCE-∠A，
∴∠DCE=

1

2

（∠DBE+∠A）=

1

2

×（150°+60°）=105°；
③∵∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD，∠BG₁C=∠A+∠ABG₁+∠ACG₁，
而∠ABD，∠ACD 的10等分线相交于点G₁、G₂…、G₉，
∴∠ABG₁=

1

10

∠ABD，∠ACG₁=

1

10

∠ACD，
∴10∠BG₁C=10∠A+∠ABD+∠ACD，
∴10∠BG₁C-∠BDC=9∠A，
∴∠A=

1

9

（10×77°-140°）=70°．
故答案为32，105，70．

点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义和三角形外角性质．