Question

如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E，BD=BE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠AOB=60°，AB=4，求四边形ABED的面积．

Answer 1

考点：矩形的判定与性质,平行四边形的性质

专题：

分析：（1）根据已知条件推知四边形ABEC是平行四边形，则对边相等：AC=BE，依据等量代换得到对角线AC=BD，则平行四边形ABCD是矩形；
（2）利用“矩形的对角线相等且相互平分”的性质、等边三角形的判定定理得到△AOB是等边三角形，则易求OB=AB=4，所以通过勾股定理求得BC的长度，再利用梯形的面积公式列式计算即可得解．

解答：（1）证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
又∵点E在DC的延长线上，
∴AB∥CE．
又∵BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AC=BE．
又BD=BE，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；

（2）解：∵在矩形ABCD中，∠AOB=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴BO=AB=4，
∴BD=2BO=2×4=8，
又∵四边形ABEC是平行四边形，
∴CE=AB=4，
∴DE=CD+CE=8，
在Rt△ABC中，BC=

BD2-CD2

=

82-42

=4

3

，
∴四边形ABED的面积=

1

2

（4+8）×4

3

=24

3

．

点评：本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，平行四边形的判定与性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．