Question

19．如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB=2，则AP+BP+CP的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$
• C． 4
• D． 3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AEF，当E、F、P、C共线时，PA+PB+PC最小，作EM⊥DA交DA的延长线于M，ME的延长线交CB的延长线于N，在RT△ECN中理由勾股定理即可解决问题．

解答 解：如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AEF，当E、F、P、C共线时，PA+PB+PC最小．
理由：∵AP=AF，∠PAF=60°，
∴△PAF是等边三角形，
∴PA=PF=AF，EF=PB，
∴PA+PB+PC=EF+PF+PC，
∴当E、F、P、C共线时，PA+PB+PC最小，
作EM⊥DA交DA的延长线于M，ME的延长线交CB的延长线于N，则四边形ABNM是矩形，
在RT△AME中，∵∠M=90°，∠MAE=30°，AE=2，
∴ME=1，AM=BN=$\sqrt{3}$，MN=AB=2，EN=1，
∴EC=$\sqrt{E{N}^{2}+N{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}+2）^{2}}$=$\sqrt{8+4\sqrt{3}}$=$\sqrt{（\sqrt{6}）^{2}+2•\sqrt{6}•\sqrt{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{6}+\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．
∴PA+PB+PC的最小值为$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．
故选B．

点评 本题考查正方形的性质、轴对称-最短问题、旋转变换等知识，解题的关键是利用旋转添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．