Question

7．如图，直线y=2x+6与坐标轴分别交于P，Q两点，过函数图象上的点A分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为B，C．
（1）直接写出△OPQ的面积为9．
（2）点A的坐标可以用含有x的式子表示为（x，2x+6），若点A在线段PQ上，矩形ABOC的周长为8，求点A坐标；
（3）若点A在直线PQ上，以A、B、O、C为顶点的矩形周长为为16，直接写出所有符合条的点A坐标．

Answer 1

分析 （1）先根据直线y=2x+6与坐标轴分别交于P，Q两点，求得P（-3，0），Q（0，6），进而得出△OPQ的面积；
（2）根据点A在线段PQ上，点A的坐标为（x，2x+6），可得OB=-x，OC=2x+6，再根据矩形ABOC的周长为8，即可得出方程2（-x+2x+6）=8，进而得到点A坐标；
（3）分数轴情况进行讨论：①点A在第一象限时，x为正，2x+6为正，②点A在第二象限时，x为负，2x+6为正，③点A在第三象限时，x为负，2x+6为负，分别根据矩形周长为为16，列出方程进行求解即可．

解答 解：（1）∵直线y=2x+6与坐标轴分别交于P，Q两点，
∴P（-3，0），Q（0，6），
∴△OPQ的面积=$\frac{1}{2}$OP•OQ=$\frac{1}{2}$×3×6=9，
故答案为：9；

（2）∵点A在线段PQ上，点A的坐标为（x，2x+6），
∴OB=-x，OC=2x+6，
∵矩形ABOC的周长为8，
∴2（-x+2x+6）=8，
解得x=-2，
∴点A的坐标为（-2，2）；

（3）∵点A在直线PQ上，
∴点A的位置分三种情况：
①点A在第一象限时，x为正，2x+6为正，
由题可得，16=2（x+2x+6），
解得x=$\frac{2}{3}$，
∴2x+6=$\frac{22}{3}$，
∴A（$\frac{2}{3}$，$\frac{22}{3}$）；
②点A在第二象限时，x为负，2x+6为正，
由题可得，16=2（-x+2x+6），
解得x=2（不合题意）；
③点A在第三象限时，x为负，2x+6为负，
由题可得，16=2（-x-2x-6），
解得x=-$\frac{14}{3}$，
∴2x+6=-$\frac{10}{3}$，
∴A（-$\frac{14}{3}$，-$\frac{10}{3}$）．
综上所述，点A的坐标为（$\frac{2}{3}$，$\frac{22}{3}$）或（-$\frac{14}{3}$，-$\frac{10}{3}$）．

点评 本题主要考查了矩形的性质以及一次函数图象上的点的坐标特征，解决问题的关键是依据直线经过的象限，进行分类讨论．