Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=7cm，BC=1lcm．点M从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点N从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点M和N分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M和N作ME⊥l于E，NF⊥l于F．设运动时间为t秒，则当t=

 

秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等．

Answer 1

考点：全等三角形的判定

专题：动点型,分类讨论

分析：易证∠MEC=∠CFN，∠MCE=∠CNF．只需MC=NC，就可得到△MEC与△CFN全等，然后只需根据点M和点N不同位置进行分类讨论即可解决问题．

解答：解：①当0≤t＜

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时，点M在AC上，点N在BC上，如图①，
此时有AM=t，BN=3t，AC=7，BC=11．
当MC=NC即7-t=11-3t，也即t=2时，
∵ME⊥l，NF⊥l，∠ACB=90°，
∴∠MEC=∠CFN=∠ACB=90°．
∴∠MCE=90°-∠FCN=∠CNF．
在△MEC和△CFN中，

∠MCE=∠CNF ∠MEC=∠CFN MC=NC

．
∴△MEC≌△CFN（AAS）．
②当

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≤t＜7时，点M在AC上，点N也在AC上，
若MC=NC，则点M与点N重合，故不存在．
③当7＜t＜18时，点N停在点A处，点N在BC上，如图②，
当MC=NC即t-7=7，也即t=14时，
同理可得：△MEC≌△CFN．
综上所述：当t等于2或14秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等．
故答案为：2或14．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定以及分类讨论的思想，可能会因考虑不全面而出错，是一道易错题．