Question

12．如图，一次函数的图象与y轴交于C（0，4），且与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象在第一象限内交于A（3，a），B（1，b）两点，
（1）求△AOC的面积；
（2）若$\sqrt{{a}^{2}-2ab+{b}^{2}}$=2，求反比例函数和一次函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）作AD⊥y轴于D，根据题意得出AD=3，OC=4，然后关键数据线面积公式即可求得；
（2）根据反比例函数系数k=xy，得出3a=b，然后代入$\sqrt{{a}^{2}-2ab+{b}^{2}}$=2，即可求得a的值，求得A的坐标，从而求得k的值，然后关键待定系数即可求得一次函数的解析式．

解答 解：（1）作AD⊥y轴于D，
∵A（3，a），
∴AD=3，
∵一次函数的图象与y轴交于C（0，4），
∴OC=4，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$OC•AD=$\frac{1}{2}$×4×3=6；
（2）∵A（3，a），B（1，b）两点在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴3a=b，
∵$\sqrt{{a}^{2}-2ab+{b}^{2}}$=2，
∴a²-2ab+b²=4，
∴a²-2a•3a+（3a）²=4，
整理得，a²=1，
∵a＞0，
∴a=1，
∴A（3，1），
∴k=3×1=3，
设直线的解析式为y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=4}\\{3m+n=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=4}\end{array}\right.$，
∴反比例函数和一次函数的解析式分别为y=$\frac{3}{x}$和y=-x+4．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，三角形的面积，根据题意得出3a=b是解题的关键．