Question

在Rt△ABC中，AB=AC，点D，E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM⊥BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．试判断△DEF的形状，并加以证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：如图，作辅助线，首先证明△BAD≌△ACP，得到AD=CP，∠ADB=∠P，进而得到CE=CP；证明△CPN≌△CEN 得到∠P=∠CEN，问题即可解决．

解答：解：△DEF是等腰三角形．
证明：如图，过点C作CP⊥AC，交AN延长线于点P
在Rt△ABC中，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=45°，∠PCN=∠ACB=45°，∠BAD=∠ACP
∵AM⊥BD，
∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°，
∴∠ABD=∠CAP，
在△BAD与△ACP 中，

∠BAD=∠ACP AB=AC ∠ABD=∠CAP

，
∴△BAD≌△ACP （ASA），
∴AD=CP，∠ADB=∠P；
∵AD=CE，
∴CE=CP；
在△CPN与△CEN中，

CE=CP ∠ECN=∠PCN CN=CN

，
∴△CPN≌△CEN （SAS），
∴∠P=∠CEN，∠CEN=∠ADB，
∵∠ADB=∠CEN，
∴∠FDE=∠FED，
∴△DEF是等腰三角形．

点评：该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．