Question

12．【探究】如图①，分别以△ABC的两边AB和AC为边向△ABC外作正三角形ABD和正三角形ACE，连结DC、BE，求证：DC=BE．
【拓展】如图②，在四边形ABCD中，AB=BC=5，∠ABC=45°，连结AC、BD，若∠DAC=90°，AC=AD，则BD的长为5$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 【探究】根据等边三角形的性质得出AD=AB，AE=AC，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，求出∠DAC=∠BAE，根据SAS推出△DAC≌△BAE即可；
【拓展】根据全等三角形的性质得到CE=BD，由勾股定理即可得到结论．

解答 解：【探究】∵以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△ACE，
∴AD=AB，AE=AC，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；

【拓展】如图②，以AB为边向外作等腰直角三角形AB，AE=AB，∠BAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠CAE=∠BAD}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ABD，
∴CE=BD，
∵BE=$\sqrt{2}$AB=5$\sqrt{2}$，
∵∠ABC=45°，
∴∠EBC=90°，
∴CE=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=5$\sqrt{3}$，
∴BD=5$\sqrt{3}$，
故答案为：5$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，勾股定理，关键是求出△DAC≌△BAE，题目是一道比较好的题目，难度适中．