Question

7．如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG，垂足为E，BF⊥AG，垂足为F．
（1）求证：AE=BF；
（2）将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，若正方形边长为3，求线段EF′的长．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是正方形，得AD=AB，∠DAG+∠BAF=90°，再由DE⊥AG，BF⊥AG，证得∠ADE=∠BAF，由AAS证得△ADE≌△BAF，即可得出结论；
（2）由旋转的性质得：∠AF′D=∠AFB=90°，∠DAF′=∠BAF，证明四边形AEDF′是矩形，即可得出EF′=AD=3．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，即∠DAG+∠BAF=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠DEA=∠BFA=90°，
∴∠DAG+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
在△ADE和△BAF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DEA=∠BFA}\\{∠ADE=∠BAF}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AE=BF；
（2）解：如图所示：
由旋转的性质得：∠AF′D=∠AFB=90°，∠DAF′=∠BAF，
∴∠F′AE=∠DAB=90°，
又∵∠DEA=90°
∴四边形AEDF′是矩形，
∴EF′=AD=3．

点评 本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质；本题综合性强，有一定难度．