Question

如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）要使四边形AFBD是菱形，△ABC应满足什么条件？并证明你的结论．

Answer 1

考点：菱形的判定,平行四边形的判定

专题：

分析：（1）求出AE=DE，∠AFE=∠DCE，证△AEF≌△CED，推出AF=DC，得出AF∥BD，AF=BD，根据平行四边形的判定推出即可
（2）当∠BAC=90°时，四边形AFBD是菱形，求出AD=BD即可．

解答：（1）证明：∵E为AD中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
在△AEF和△CED中，

∠AFE=∠DCE ∠AEF=∠DEC AE=DE

，
∴△AEF≌△CED（AAS），
∴AF=DC，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∴AF=BD，
即AF∥BD，AF=BD，
故四边形AFBD是平行四边形．

（2）当∠BAC=90°时，四边形AFBD是菱形，
证明：∵∠BAC=90°，D为BC中点，
∴AD=BD，
∵四边形AFBD是平行四边形，
∴四边形AFBD是菱形．

点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．