Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：过点C(0，﹣3)，与抛物线L2：的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、抛物线L2上的动点．

（1）求抛物线L1对应的函数表达式；

（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；

（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR，若OQ∥PR，求出点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线对应的函数表达式为；（2）点的坐标为或或或；（3）点坐标为或.

【解析】

（1）先求出A点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式便可；

（2）设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），分两种情况讨论：AC为平行四边形的一条边，AC为平行四边形的一条对角线，用x表示出Q点坐标，再把Q点坐标代入抛物线中，列出方程求得解便可；

（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分∠PCR，当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，过点P作PH⊥TR于点H，设点P坐标为（x1，），点R坐标为（x2，），证明△PSC∽△RTC，由相似比得到x1+x2＝4，进而得tan∠PRH的值，过点Q作QK⊥x轴于点K，设点Q坐标为（m，），由tan∠QOK＝tan∠PRH，移出m的方程，求得m便可．

（1）将代入，得，故点的坐标为.

将代入，

得，解得.

所以抛物线对应的函数表达式为.

（2）设点的坐标为.

第一种情况：为平行四边形的一条边.

①当点在点右侧时，则点的坐标为.

将代入，得

，

整理得，解得.

因为时，点与点重合，不符合题意，所以舍去，

此时点的坐标为.

②当点在点左侧时，则点的坐标为.

将代入，得

，

整理得，解得.

此时点的坐标为或.

第二种情况：当为平行四边形的一条对角线时.

由的中点坐标为，得的中点坐标为，

故点的坐标为.

将代入，得

，

整理得，解得.

因为时，点与点重合，不符合题意，所以舍去，

此时点的坐标为.

综上所述，点的坐标为或或或.

（3）当点在轴左侧时，抛物线不存在动点使得平分.

当点在轴右侧时，不妨设点在的上方，点在的下方，

过点、分别作轴的垂线，垂足分别为，

过点作，垂足为，则有.

由平分，得，则，

故，所以.

设点坐标为，

点坐标为，

所以有，

整理得.

在中，.

过点作轴，垂足为.设点坐标为.

若，则需.所以.

所以.解得.

所以点坐标为或.