Question

【题目】已知：为的直径，为圆弧上一点，垂直于过点的切线，垂足为，的延长线交直线于点.，垂足为点．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，若，连接交于点，且时，求的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

1）连结OC，如图1，先利用切线的性质得到OC⊥CD，再判断OC∥AD得到∠1=∠3，加上∠2=∠3，则有∠1=∠2，于是可判断，即可得到；

（2）连结OC，如图2，先证明△OCG∽△DAG得到，即可求出=10，Rt△OCF中利用勾股定理即可求出．

（1）连结，

∵直线与相切于点，∴，

∵∴

∴，∴，

∵，∴，∴，

∵∴

∴在和中

∴

∴

（2）连结，

∵，∴，

∴，∴，

∵，∴∴

∴∴

由勾股定理

本题考查了圆的有关概念及性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，解题关键是熟练掌握并灵活运用相似三角形的判定与性质等．