题目内容
八年级数学课上，朱老师出示了如下框中的题目．
小聪与同桌小明讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况•探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例启发•解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论•设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为3，AE=1，则CD= （请你直接写出结果）．
小聪与同桌小明讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况•探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE
（2）特例启发•解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论•设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为3，AE=1，则CD=
考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质
专题：
分析：（1）当E为中点时，过E作EF∥BC交AC于点F，则可证明△BDE≌△FEC，可得到AE=DB；
（2）类似（1）过E作EF∥BC交AC于点F，可利用AAS证明△BDE≌△FEC，可得BD=EF，再证明△AEF是等边三角形，可得到AE=EF，可得AE=DB；
（3）分点E在AB上和在BA的延长线上，类似（2）证得全等，再利用平行得到．
（2）类似（1）过E作EF∥BC交AC于点F，可利用AAS证明△BDE≌△FEC，可得BD=EF，再证明△AEF是等边三角形，可得到AE=EF，可得AE=DB；
（3）分点E在AB上和在BA的延长线上，类似（2）证得全等，再利用平行得到．
解答：解：
（1）如图1，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF为等边三角形，
∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，
∴∠EDB=∠FEC，
在△BDE和△FEC中
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF，
∴AE=BD，
故答案为：=；
（2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF为等边三角形，
∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，
∴∠EDB=∠FEC，
在△BDE和△FEC中
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF，
∴AE=BD，
故答案为：=；
（3）因为AE=1，△ABC的边长为3，所以E点可能在线段AB上，也可能在BA的延长线上，
当点E在AB时，同（2）可知BD=AE=1，则CD=BC+BD=1+3=4，
当点E在BA的延长线上时，如图3，过点E作EF∥BC，交CA的延长线于点F，
则∠F=∠FCB=∠B=60°，
∠FEC+∠ECD=∠FEC+∠EDC=180°，
∴∠EDB=∠FEC，
且ED=EC，
在△BDE和△FEC中
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴EF=BD，
又可判定△AEF为等边三角形，
∴BD=EF=AE=1，
∴CD=BC-BD=3-1=2，
故答案为：2或4．
（1）如图1，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF为等边三角形，
∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，
∴∠EDB=∠FEC，
在△BDE和△FEC中
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∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF，
∴AE=BD，
故答案为：=；
（2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF为等边三角形，
∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，
∴∠EDB=∠FEC，
在△BDE和△FEC中
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∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF，
∴AE=BD，
故答案为：=；
（3）因为AE=1，△ABC的边长为3，所以E点可能在线段AB上，也可能在BA的延长线上，
当点E在AB时，同（2）可知BD=AE=1，则CD=BC+BD=1+3=4，
当点E在BA的延长线上时，如图3，过点E作EF∥BC，交CA的延长线于点F，
则∠F=∠FCB=∠B=60°，
∠FEC+∠ECD=∠FEC+∠EDC=180°，
∴∠EDB=∠FEC，
且ED=EC，
在△BDE和△FEC中
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∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴EF=BD，
又可判定△AEF为等边三角形，
∴BD=EF=AE=1，
∴CD=BC-BD=3-1=2，
故答案为：2或4．
点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质和判定，利用全等得到BD=EF，再找EF和AE的关系是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
下列各数中，无理数是（ ）
| A、3.14 | |||
B、
| |||
C、
| |||
D、
|
下面的图形中是正方体的展开图的是（ ）
A、 |
B、 |
C、 |
D、 |