Question

1．矩形ABCD中，AD=2AB=2$\sqrt{2}$，E是AD的中点，Rt∠FEG顶点与点E重合，将∠FEG绕点E旋转，角的两边分别交AB，BC（或它们的延长线）于点M，N，设∠AME=α（0°＜α＜90°），有下列结论：①BM=CN；②AM+CN=$\sqrt{2}$；③S_△EMN=$\frac{1}{si{n}^{2}α}$，其中正确的是（　　）

• A． ①
• B． ②③
• C． ①③
• D． ①②③

Answer 1

分析 在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，作EF⊥BC于点F，则有AB=AE=EF=FC，根据全等三角形的性质得到AM=FN，MB=CN，故①正确；于是得到CF=AM+CN=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$，故②正确；根据全等三角形的性质得到EM=EN，推出△EMN是等腰直角三角形，根据三角函数的定义得到sinα=$\frac{AE}{EM}$，于是得到结论．

解答 解：在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，
作EF⊥BC于点F，则有AB=AE=EF=FC，
∵∠AEM+∠DEN=90°，∠FEN+∠DEN=90°，
∴∠AEM=∠FEN，
在Rt△AME和Rt△FNE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEM=∠FEN}\\{AE=EF}\\{∠MAE=∠NFE}\end{array}\right.$，
∴Rt△AME≌Rt△FNE，
∴AM=FN，
∴MB=CN，故①正确；
∴CF=AM+CN=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$，故②正确；
∵Rt△AME≌Rt△FNE，
∴EM=EN，
∴△EMN是等腰直角三角形，
∵∠AME=α，
∴sinα=$\frac{AE}{EM}$，
∴EM=$\frac{\sqrt{2}}{sinα}$，
∴S_△EMN=$\frac{1}{2}$EM²=$\frac{1}{si{n}^{2}α}$，故③正确，
故选D．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定，本题的关键是证明Rt△AME≌Rt△FNE，利用全等的性质和等量代换求解．