Question

已知：如图，直线y=mx+n与抛物线交于点A（1，0）和点B，与抛物线的对称轴x=﹣2交于点C（﹣2，4），直线f过抛物线与x轴的另一个交点D且与x轴垂直．

（1）求直线y=mx+n和抛物线的解析式；

（2）在直线f上是否存在点P，使⊙P与直线y=mx+n和直线x=﹣2都相切．若存在，求出圆心P的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）在线段AB上有一个动点M（不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，当MN的长为多少时，△ABN的面积最大，请求出这个最大面积．

Answer 1

解：（1）将A（1，0）、C（﹣2，4）代入直线y=mx+n得：

，

解得：，

故直线解析式为：．

将A（1，0）代入抛物线及对称轴为直线x=﹣2得：

，

解得：，

故抛物线解析式为：．

（2）存在．

如图1，图形简化为图2

直线f解析式：x=﹣5，故圆半径R=3，且F（﹣5，8）．

易得△PEF∽△ADF，△P₁E₁F≌△PEF，其中PE=P₁E₁=R=3，AD=6，FD=8，P₁F=PF．

在Rt△ADF中，由勾股定理得：AF=10，由得：PF=5．

∴PD=13，P₁D=3．

∴P（﹣5，13）、P₁（﹣5，3）．

综上可得存在点P的坐标为（﹣5，13）或（﹣5，3）．

（3）如图3：

联立直线与抛物线解析式得：，

解得交点B的坐标：（﹣9，）．

设点M（q，﹣q+），N（q，q²+q﹣），

所以：MN=（﹣q+）﹣（q²+q﹣）=﹣q²﹣q+3=﹣（q+4）²+．

S_△ABN=S_△AMN+S_△BMN=MN•AF+MN•BE=MN（AF+BE）=5MN=﹣（q+4）²+．

当q=﹣4时，S_△ABN有最大值；此时：MN=．