Question

17．观察下列各式，你有什么发现？
3²=4+5，5²=12+13，7²=24+25，9²=40+41，…
用你的发现解决下列问题：
（1）填空：11²=60+61；
（2）请用含字母n（n为正整数）的关系式表示出你发现的规律：（2n+1）²=（$\frac{（2n+1）^{2}-1}{2}$）+（$\frac{（2n+1）^{2}+1}{2}$）；
（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性．

Answer 1

分析 认真观察三个数之间的关系可得出规律：第n组数为（2n+1），（$\frac{（2n+1）^{2}-1}{2}$），（$\frac{（2n+1）^{2}+1}{2}$），由此规律解决问题．

解答 解：（1）11²=b+c，这是第5个式子，
故11²=$\frac{1{1}^{2}-1}{2}$+$\frac{1{1}^{2}+1}{2}$=60+61；
故答案为：60，61；
（2）（2n+1）²=（$\frac{（2n+1）^{2}-1}{2}$）+（$\frac{（2n+1）^{2}+1}{2}$）；
故答案为：（2n+1）²=（$\frac{（2n+1）^{2}-1}{2}$）+（$\frac{（2n+1）^{2}+1}{2}$）；
（3）由已知各式中的勾股数特征，
[$\frac{（2n+1）^{2}-1}{2}$]²-[$\frac{（2n+1）^{2}+1}{2}$]²
=[$\frac{（2n+1）^{2}-1}{2}$+$\frac{（2n+1）^{2}+1}{2}$][$\frac{（2n+1）^{2}-1}{2}$-$\frac{（2n+1）^{2}+1}{2}$]=（2n+1）²×1
=（2n+1）²．
所以得证．

点评 本题考查了勾股定理的知识及数字的规律变化，解答本题的关键是仔细观察所给式子，要求同学们能有一般得出特殊规律．