Question

如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F． FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．.

小题1:求证：ΔBEF ∽ΔCEG．
小题2:当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．
小题3:设BE＝x，△DEF的面积为 y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时,y有最大值，最大值是多少？

Answer 1

 
小题1:因为四边形ABCD是平行四边形，所以 ····························· 1分
所以
所以
小题2:的周长之和为定值．··········································· 4分
理由一：
过点C作FG的平行线交直线AB于H ，
因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．所以 FH＝CG，FG＝CH
因此，的周长之和等于BC＋CH＋BH 
由  BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得CH＝8，BH＝6，
所以BC＋CH＋BH＝24 ·········································································· 6分
理由二：
由AB＝5，AM＝4，可知   
在Rt△BEF与Rt△GCE中，有：
，
所以，△BEF的周长是， △ECG的周长是
又BE＋CE＝10，因此的周长之和是24．
小题3:设BE＝x，则
所以 ···························· 8分
配方得：．
所以，当时，y有最大值．···························································· 10分
最大值为．

 略