Question

9．已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F． BD=6，sinC=$\frac{3}{5}$．则下面结论正确的有（填序号）（1）（2）
（1）AC与⊙O相切；
（2）EF=EG；  
（3）⊙O的直径等于8；
（4）AB²=AC AE．

Answer 1

分析 （1）正确．欲证明AC是切线，只要证明OE⊥AC，只要证明OE∥BD即可．
（2）正确．根据等弧所对的弦相等证明即可．
（3）错误．在Rt△BCD中，由BD=6，sinC=$\frac{3}{5}$，求出BC=BA=10，CD=AD=8，由EM⊥BF，ED⊥BD，∠EBM=∠EBD，推出EM=ED，设EM=ED=x，在Rt△AEM中，AE²=EM²+AM²，列出方程求出x，再利用相似三角形的性质求出FM即可解决问题．
（4）错误．不放假时成立，推出矛盾即可．

解答 解：如图连接EO，EF，作EM⊥AB于M．
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE=∠EBD=∠OEB，
∴OE∥BD，
∵BA=BC，AD=CD，
∴BD⊥AC，
∴OE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线，故（1）正确．
∵∠EBF=∠EBG，
∴$\widehat{EF}$=$\widehat{EG}$，
∴EF=EG．故（2）正确．
在Rt△BCD中，∵BD=6，sinC=$\frac{3}{5}$，
∴BC=BA=10，CD=AD=8，
∵EM⊥BF，ED⊥BD，∠EBM=∠EBD，
∴EM=ED，设EM=ED=x，
在Rt△AEM中，AE²=EM²+AM²，
∴（8-x）²=x²+4²，
∴x=3，
∵∠EFM+∠FEM=90°，∠FEM+∠BEM=90°，
∴∠EFM=∠BEM，∵∠EMF=∠EMB，
∴△EMF∽△BME，
∴$\frac{EM}{BM}$=$\frac{FM}{EM}$，
∴$\frac{3}{6}$=$\frac{FM}{3}$，
∴FM=$\frac{3}{2}$，
∴直径BF=FM+BM=$\frac{15}{2}$，故（3）错误，
不妨设AB²=AC AE．
则$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，∵∠A=∠A，
∴△ABE∽△ACB，
∴∠C=∠ABE，
∵∠CBD=2∠ABE，
∴∠CBD=2∠C，
∵∠C+∠CBD=90°，
∴∠C=30°，这显然不符合题意，故（4）错误．
故答案为（1）（2）．

点评 本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．角平分线的性质定理、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．