Question

3．将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE，过B′作B′P∥BC，交AE于点P，连接BP，已知BC=3，CB′=1．
（1）求AB的长．
（2）求证：四边形BEB′P为菱形．
（3）求sin∠ABP的值．

Answer 1

分析 （1）设AB为x，根据折叠的性质用x表示出AB′、B′D，根据勾股定理列出方程，解方程求出x的值即可；
（2）根据折叠的性质和菱形的判定定理证明即可；
（3）根据折叠的性质和勾股定理以及正弦的概念求出sin∠CB′E，根据题意证明∠ABP=∠CB′E，即可得到答案．

解答 解：（1）设AB为x，由折叠的性质可知，AB′=AB=x，
∵四边形ABCD是矩形，CB′=1，
∴B′D=x-1，
由勾股定理得，AB′²=B′D²+AD²，即x²=（x-1）²+3²，
解得，x=5，
∴AB的长为5；
（2）由折叠的性质可知，EB=EB′，PB=PB′，∠PEB=∠PEB′，
∵B′P∥BC，
∴∠BPE=∠PEB′，
∴∠PEB=∠BPE，
∴BE=BP，
∴EB=EB′=PB=PB′，
∴四边形BEB′P为菱形；
（3）设BE为y，
由折叠的性质可知，EB′=BE=y，CE=3-y，
由勾股定理得，B′E²=CE²+B′C²，即y²=（3-y）²+1²，
解得，y=$\frac{5}{3}$，即BE=$\frac{5}{3}$，
∴CE=$\frac{4}{3}$，
∴sin∠CB′E=$\frac{CE}{EB′}$=$\frac{4}{5}$，
∵四边形BEB′P为菱形，
∴∠PBE=∠PB′E，
∴∠ABP=∠CB′E，
∴sin∠ABP=sin∠CB′E=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查的是菱形的判定、折叠的性质、勾股定理的应用和锐角三角函数的概念，掌握四条边相等的四边形是菱形、翻折变换的性质是解题的关键．