Question

14．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是AB上的点，⊙O是以BC为直径的圆．
（1）如图1，若DE与⊙O相切于点F，求BE的长；
（2）如图2，若AO⊥DE，垂足为F，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）设BE=x，则AE=8-x，先证明AB和CD都是⊙O的切线，则根据切线长定理得到EF=BE=x，DF=DC=8，然后理由勾股定理得到（8-x）²+8²=（8+x）²，从而解方程求出x即可；
（2）通过证明△ADF≌△OAB得到AE=OB=4，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．．

解答 解：（1）设BE=x，则AE=8-x，
∵⊙O是以BC为直径的圆，AB⊥BC，CD⊥BC，
∴AB和CD都是⊙O的切线，
∵DE与⊙O相切于点F，
∴EF=BE=x，DF=DC=8，
在Rt△AED中，∵AE²+AD²=DE²，
∴（8-x）²+8²=（8+x）²，解得x=2，
即BE的长为2；

（2）∵AO⊥DE，
∴∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
而∠DAF+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠ADF，
在△ADF和△OAB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFD=∠ABO}\\{∠ADF=BAO}\\{DA=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△OAB，
∵AO=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵∠EAF=∠BAO，∠AFE=∠ABO=90°，
∴△AEF∽△AOF，
∴$\frac{EF}{OB}=\frac{AE}{AO}$，
∴EF=$\frac{AE•OB}{AO}$=$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；灵活应用切线长定理．也考查了正方形的性质．