Question

15．在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′=$\left\{\begin{array}{l}{y（x≥0）}\\{-y（x＜0）}\end{array}\right.$，则称点Q为点P的“可控变点”．
例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（-1，3）的“可控变点”为点（-1，-3）．
（1）若点（-1，-2）是一次函数y=x+3图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为（-1，2）；
（2）若点P在函数y=-x²+16（-5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是-16≤y′≤16，则实数a的取值范围是$\sqrt{7}$≤a≤4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）直接根据“可控变点”的定义直接得出答案；
（2）根据题意可知y=-x²+16图象上的点P的“可控变点”必在函数y′=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+16（x≥0）}\\{{x}^{2}-16（-5≤x＜0）}\end{array}\right.$的图象上，结合图象即可得到答案．

解答 解：（1）根据“可控变点”的定义可知点M的坐标为（-1，2）；
（2）依题意，y=-x²+16图象上的点P的“可控变点”必在函数y′=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+16（x≥0）}\\{{x}^{2}-16（-5≤x＜0）}\end{array}\right.$的图象上（如图）．
∵-16≤y′≤16，
∴-16=-x²+16．
∴x=4$\sqrt{2}$．
当x=-5时，x²-16=9，
当y′=9时，9=-x²+16（x≥0）．
∴x=$\sqrt{7}$．
∴a的取值范围是$\sqrt{7}$≤a≤4$\sqrt{2}$．
故答案为（-1，2），$\sqrt{7}$≤a≤4$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是熟练掌握新定义“可控变点”，解答此题还需要掌握二次函数的性质，此题有一定的难度．