Question

【题目】阅读理解：运用“同一图形的面积相等”可以证明一些含有线段的等式成立，这种解决问题的方法我们称之为面积法. 如图1，在等腰△ABC中，AB=AC， AC边上的高为h，点M为底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2，连接AM，利用S△ABC=S△ABM＋S△ACM，可以得出结论：h= h1＋h2.

类比探究：在图1中，当点M在BC的延长线上时，猜想h、h1、h2之间的数量关系并证明你的结论.

拓展应用：如图2，在平面直角坐标系中，有两条直线l1：y =x+3，l2：y =－3x+3，若l2上一点M到l1的距离是1，试运用 “阅读理解”和“类比探究”中获得的结论，求出点M的坐标.

Answer 1

【答案】（1）h = h1－h2（2）（，2）或（－，4）

【解析】试题分析：（1）连接AM，△ABC被分成△ABM和△ACM两个三角形，根据三角形的面积公式分别求解，再根据S△ABC=S△ABM+S△AMC整理即可得到h1+h2=h．
（2）先根据直线关系式求出A、B、C三点的坐标利用勾股定理求出AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，再分点M在线段BC上和CB的延长线上两种情况讨论求解．

试题解析：

（1）h = h1－h2.

证明：连接OA，

∵S△ABC =AC·BD=AC·h，

S△ABM =AB·ME = AB·h1，

S△ACM=AC·MF =AC·h2，.

又∵S△ABC=S△ABM－S△ACM，

∴AC·h =AB·h1－AC·h2.

∵AB=AC，∴h = h1－h2.

（2）在y =x+3中，令x=0得y=3；令y=0得x=－4，则：

A（－4，0），B（0，3） ， 同理求得C（1，0），

OA=4，OB=3， AC=5，

AB==5，所以AB=AC，

即△ABC为等腰三角形．

设点M的坐标为（x，y），

①当点M在BC边上时，由h1+h2=h得：

OB = 1+y，y =3－1=2，把它代入y=－3x+3中求得：x=，

∴M（，2）

②当点M在CB延长线上时，由h1－h2=span>h得：

OB = y－1，y =3+1=4，把它代入y=－3x+3中求得：x=－，

∴M（－，4）.

综上所述点M的坐标为（，2）或（－，4）.