Question

【题目】如图，已知抛物线经过点，．

（1）求的值，并将抛物线解析式化成顶点式；

（2）已知点，点为抛物线上一动点．求证：以为圆心，为半径的圆与直线相切；

（3）在（2）的条件下，点为抛物线上一动点，作直线，与抛物线交于点．当时，请直接写出直线的解析式．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3）或．

【解析】

（1）利用待定系数法可求出b、c的值，再将抛物线的解析式化为顶点式即可；

（2）如图（见解析），由（1）可设点A的坐标为，再根据两点之间的距离公式可得，然后根据圆的切线的判定定理即可得证；

（3）如图（见解析），先根据正弦三角函数求出，从而可得，再利用正切三角函数可求出点H的坐标，然后利用待定系数法即可得；由根据二次函数的对称性可得点B关于二次函数对称轴的对称点也满足题设条件，利用同样的方法求解即可得另一条符合要求的直线BF的解析式．

（1）由题意，将点，代入抛物线解析式得：

解得：

则；

（2）过点作垂直于直线，垂足

设点A的坐标为

则

∴，即

∴是圆A的半径

∴以为圆心，为半径的圆与直线相切；

（3）如图，过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、，过点作于点，则四边形CEDP是矩形

，轴

设，则

同（2）可得：，

∴，

在中，

∴

设直线BF与x轴的交点为点，过点F作轴于点N

则点N的坐标为，，

轴

在中，，即

解得，即点H的坐标为

设直线BF的解析式为

将点、代入得：，解得

则此时直线的解析式为

二次函数的对称轴为

点在这个二次函数的对称轴上

则由二次函数的对称性可知，图中点B关于对称轴为的对称点也一定在抛物线上，且满足

同理可得：此时点H的坐标为

设直线BF的解析式为

将点、代入得：，解得

则此时直线的解析式为

综上，直线的解析式为或．