Question

【题目】已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(﹣2，0)、B(0、﹣4)与x轴交于另一点C，连接BC．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且，求P点坐标．

（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣4；（2）P (6，8)；（3）存在，D (8，20)或

【解析】

（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；

（2）令y=0求抛物线与x轴的交点C的坐标，作△POB和△PBC的高线，根据面积相等可得OG=CF，证明△OEG≌△CEF，得OE=CE，即得到点E的坐标为（2，0），利用待定系数法求得直线PB的解析式，解方程组即可求得P点坐标；

（3）先利用概率的知识分析A，B，C，E中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与△ABE有可能相似，即△ABC和△BCE，
①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，根据存在公共角∠BAE=∠BAC，可得△ABE∽△ACB，列比例式可得E的坐标，利用待定系数法求直线BE的解析式，与抛物线列方程组可得交点D的坐标；
②当△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，同理可得结论．

（1）把点A（-2，0），B（0、-4）代入抛物线得：

，
解得：，
∴抛物线的解析式为；

（2）当时，，
解得：或4，
∴点C的坐标为（4，0），

如图1，过O作OG⊥BP于G，过C作CF⊥BP于F，PB交轴于点E，

∵S△PBO=S△PBC，

∴BPOG=BPCF，
∴OG=CF，
∵∠OEG=∠CEF，∠OGE∠CFE，
∴△OEG≌△CEF（AAS），
∴OE=CE，
点E的坐标为（2，0），

设直线PB的解析式为，

把点E（2，0）代入得，

解得：，

∴直线PB的解析式为，

解方程组得：(舍去)或，

∴点P的坐标为（6，8）；

（3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有△ABC、△ABE、△ACE、△BCE，四种，其中△ABE重合，不符合条件，△ACE不能构成三角形，
∴当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC和△BCE，
①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，

（3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有△ABC、△ABE、△ACE、△BCE，四种，其中△ABE重合，不符合条件，△ACE不能构成三角形，
∴当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC和△BCE，
①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，

由（1）得：点A（-2，0），B（0，-4），C（4，0），

∴OB=OC=4，

，

，

∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵∠BAE=∠BAC，∠ABE≠∠ABC，
∴∠ABE=∠ACB=45°，
∴△ABE∽△ACB，
∴，

∴，

解得：，，

点的坐标为（，0）；

设直线BE的解析式为，

把点E（，0）代入得，，

∴直线BE的解析式为，

解方程组得：(舍去)或，

∴点D的坐标为（8，20）；

②当△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，此时E在C的左边，

∵∠BEA=∠BEC，
∴当∠ABE=∠BCE时，△ABE∽△BCE，

∴，

设，，

Rt△BOE中，由勾股定理得：，
∴，

即，即，

∴，，

∴或，

∵，∠AEB或∠BEC是钝角，如图4，此时△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，

∴E（-12，0）；
同理得BE的解析式为：，

解方程组得：(舍去)或，

∴点D的坐标为（，）；

同理可得E在C的右边时，△ABE∽△BCE，

∴，

设，，

Rt△BOE中，由勾股定理得：，
∴，

即，即，

∴，，

∴(舍去)或，

∵，∠BEC是钝角，此时△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，
综上，点D的坐标为（8，20）或（，）．