Question

2．定义：如果二次函数y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常数）与y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常数）满足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求y=-x²+3x-2函数的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由y=-x²+3x+2函数可知，a₁=-1，b₁=3，c₁=2根据a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，求出a₂，b₂，c₂就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面的问题：
（1）写出函数y=-x²+3x+2的“旋转函数”；
（2）若函数y=-x²+$\frac{4}{3}$mx-2与y=x²-2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）²⁰¹⁵的值；
（3）已知函数y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A₁、B₁、C₁，试证明经过点A₁、B₁、C₁的二次函数与函数y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）互为“旋转函数”．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常数）与y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常数）满足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得答案；
（2）根据二次函数y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常数）与y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常数）满足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得关于m，n的方程，根据负数奇数次幂是负数，可得答案；
（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得A，B，C的坐标，根据关于原点对称的点的坐标，可得A₁、B₁、C₁，根据待定系数法，可得函数解析式，根据旋转函数的定义，可得答案．

解答 （1）由y=-x²+3x+2函数可知a₁=-1，b₁=3，c₁=2
∵a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，
∴a₂=1，b₂=3，c₂=-2
∴函数y=-x²+3x+2的“旋转函数”是y=x²+3x-2
（2）函数y=-x²+$\frac{4}{3}$mx-2与y=x²-2nx+n互为“旋转函数”
∴$\frac{4}{3}$m=-2n，-2+n=0，
m=-3，n=2
∴（m+n）²⁰¹⁵=（-3+2）²⁰¹⁵=-1；
（3）数y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
∴A（-1，0），B（4，0）C（0，2），
∴A₁（1，0），B₁（-4，0），C₁（0，-2）
得过点A₁，B₁，C₁的二次函数是y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2；
∵y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
∴a₁+a₂=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=0，b₁=b₂，c₁+c₂=2+（-2）=0，
∴经过点A₁，B₁，C₁的二次函数与函数y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）互为“旋转函数”．

点评 本题考察了二次函数综合题，利用旋转函数的定义是解（1）的关键；利用自变量与函数的关系得出A，B，C的坐标，有利用关于点对称的点的坐标得出A₁、B₁、C₁是解（3）的关键，又利用了旋转函数的定义．