Question

7．如图，点P是⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O于点E、F，弦AB⊥PF，垂足为D，延长BO交⊙O于点C，连接AC，BF．
（1）求证：PB与⊙O相切；
（2）若AC=12，tan∠F=$\frac{1}{2}$，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）证明：连接OA，由弦AB⊥PF，AD=BD，得到PA=PB，根据三角形全等得到∠PAO=∠PBO．由于PA为⊙O的切线，得到∠PAO=90°，即可得到结果；
（2）根据三角形的中位线的性质得到OD=$\frac{1}{2}$AC=6，由tan∠F=$\frac{1}{2}$，设BD=x，则DF=2x，OB=OF=DF-OD=6，在R_t△BOD中，由勾股定理列方程即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OA，
∵弦AB⊥PF，AD=BD，
∴PA=PB，
在△APO和△BPO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{PA=BA}\\{PO=PO}\end{array}\right.$，
∴△APO≌△BPO（SSS），
∴∠PAO=∠PBO．
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO=90°．
∴∠PBO=90°
∴PB与⊙O相切；

（2）∵AD=BD，BO=CO，
∴OD=$\frac{1}{2}$AC=6，
∵tan∠F=$\frac{1}{2}$，
∴设BD=x，则DF=2x，AB=2x，
在R_t△BOD中，OB²=BD²+OD²，
∴（2x-6）²=x²+6²，
解得：x=8，
∴OB=10
∴⊙O的直径是2BO=2×10=20．

点评 此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．