Question

12．如图所示，△ABC是等边三角形，D是BC的中点，延长AB到E，使BE=BD．
（1）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥AE，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：AM=EM．

Answer 1

分析 （1）先以D点为圆心，DB为半径画弧交AB上一点，然后作线段的垂直平分线即可；
（2）先根据等边三角形的性质得到∠BAC=∠ABC=60°，在利用D是BC的中点得到∠BAD=30°，由于BD=BE，则有∠BDE=∠E，然后利用三角形外角性质可计算出∠E=$\frac{1}{2}$∠ABD=30°，则可判断△DAE为等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质即可判断AM=EM．

解答 （1）解：如图，
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∵D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=30°，
∵BD=BE，
∴∠BDE=∠E，
∵∠ABD=∠BDE+∠E，
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠ABD=30°，
∴∠DAE=∠E，
∴△DAE为等腰三角形，
∵DM⊥AE，
∴AM=EM．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了等边三角形的性质和等腰三角形的判定与性质．