Question

19．如图1，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=6，∠OCA=30°，点P是射线CA上的动点，点Q是x轴上的动点，CP=3OQ，分别以AQ和AP为边作平行四边形APEQ，设Q点的坐标是Q（t，0）．
（1）求矩形OABC的对角线AC的长；
（2）如图2，当点Q在线段OA上，且点E恰好在y轴上时，求t的值；
（3）在点P，Q的运动过程中，是否存在点Q，使?APEQ是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用30°角所对的直角边是斜边的一半直接求出AC，
（2）利用平行四边形的性质，表示出EQ，再利用30°角所对的直角边是斜边的一半，建立方程求解即可；
（3）分点Q在点A的左边和右边两种情况，利用菱形的邻边相等AQ=AP建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC=90°，
∵OA=6，∠OCA=30°，
∴AC=12，
（2）∵OQ=t，
∴CP=3OQ=3t，
∴AP=12-3t，
∵以AQ和AP为边作平行四边形APEQ，
∴EQ=AP=12-3t，
∵以AQ和AP为边作平行四边形APEQ，
∴EQ=2OQ，
∴12-3t=2t，
∴t=$\frac{12}{5}$；
（3）存在，
①当点Q在点A左边时，即：t≤6，OQ=|t|，
则CP=3|t|，
∴AP=12-3|t|，AQ=6-t，
∵?APEQ是菱形，
∴AP=AQ，
∴12-3|t|=6-t，
∴t=3或t=-$\frac{3}{2}$，
②当点Q在A右边时，即：t＞6，
∴OQ=t，
∴AQ=t-6，CP=3t，
∴AP=3t-12，
∵?APEQ是菱形，
∴AQ=AP，
∴t-6=3t-12，
∴t=3（舍），
即：t=3或-$\frac{3}{2}$时，?APEQ是菱形．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了，含30°的直角三角形的性质，平行四边形的性质，菱形的性质，解本题的关键是用找出相等关系，还涉及到用方程的思想解决几何问题．