Question

【题目】如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．

(1)求证：BM=CN；

(2)若AB=8，AC=4，求BM的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)2

【解析】

（1）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得到DM=DN，DB=DC，根据HL证明Rt△DMB≌Rt△DNC，即可得出BM=CN；
（2）由HL证明Rt△DMA≌Rt△DNA，得出AM=AN，证出2BM=AB-AC=4，即可得出BM=2．

(1)证明：连接BD、CD，如图所示：

∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，

∴DM=DN，

∵DE垂直平分线BC，

∴DB=DC，

在Rt△DMB和Rt△DNC中，

∴Rt△DMB≌Rt△DNC(HL)，

∴BM=CN；

(2) 由(1)得：BM=CN，

∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，

∴DM=DN，

在Rt△DMA和Rt△DNA中，

∴Rt△DMA≌Rt△DNA(HL)，

∴AM=AN，

∵AM=AB-BM，AN=AC+CN，

∴AB-BM=AC+CN，

∴2BM=AB-AC=8-4=4，

∴BM=2．