题目内容
【题目】(10分)(1)【问题发现】小明遇到这样一个问题:
如图1,△ABC是等边三角形,点D为BC的中点,且满足∠ADE=60°,DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E,试探究AD与DE的数量关系.
(1)小明发现,过点D作DF//AC,交AC于点F,通过构造全等三角形,经过推理论证,能够使问题得到解决,请直接写出AD与DE的数量关系: ;
(2)【类比探究】如图2,当点D是线段BC上(除B,C外)任意一点时(其它条件
不变),试猜想AD与DE之间的数量关系,并证明你的结论.
(3)【拓展应用】当点D在线段BC的延长线上,且满足CD=BC(其它条件不变)时,
请直接写出△ABC与△ADE的面积之比.
【答案】(1)AD=DE;(2)AD=DE,证明见解析;(3).
【解析】
试题分析:本题难度中等。主要考查学生对探究例子中的信息进行归纳总结。并能够结合三角形的性质是解题关键。
试题解析:(10分)
(1)AD=DE.
(2)AD=DE.
证明:如图2,过点D作DF//AC,交AC于点F,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠B=∠ACB=∠ABC=60°.
又∵DF//AC,
∴∠BDF=∠BFD=60°
∴△BDF是等边三角形,BF=BD,∠BFD=60°,
∴AF=CD,∠AFD=120°.
∵EC是外角的平分线,
∠DCE=120°=∠AFD.
∵∠ADC是△ABD的外角,
∴∠ADC=∠B+∠FAD=60°+∠FAD.
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC,
∴∠FAD=∠EDC.
∴△AFD≌△DCE(ASA),
∴AD=DE;
(3).

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