如图①所示.直线L:y=m与x轴负半轴.y轴正半轴分别交于A.B两点．(1)当OA=OB时.试确定直线L的解析式,的条件下.如图②所示.设Q为AB延长线上一点.作直线OQ.过A.B两点分别作AM⊥OQ于M.BN⊥OQ于N.若AM=8.BN=6.求MN的长,(3)当m取不同的值时.点B在y轴正半轴上运动.分别以OB.AB为边.点B为直角顶点在第一.二象限内作等腰直角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．如图①所示，直线L：y=m（x+10）与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．
（1）当OA=OB时，试确定直线L的解析式；
（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=8，BN=6，求MN的长；
（3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③．
问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．

分析（1）令y=0可求得x=-10，从而可求得点A的坐标，令x=0得y=10m，由OA=OB可知点B的纵坐标为10，从而可求得m的值；
（2）依据AAS证明△AMO≌△ONB，由全等三角形的性质可知ON=AM，OM=BN，最后由MN=AM+BN可求得MN的长；
（3）过点E作EG⊥y轴于G点，先证明△ABO≌△EGB，从而得到BG=10，然后证明△BFP≌△GEP，从而得到BP=GP=$\frac{1}{2}$BG．

解答解：（1）由题意知：A（-10，0），B（0，10m）
∵OA=OB，
∴10m=10，即m=1．
∴L的解析式y=x+10．
（2）∵AM⊥OQ，BN⊥OQ
∴∠AMO=∠BNO=90°
∴∠AOM+∠MAO=90°
∵∠AOM+BON=90°
∴∠MAO=∠NOB
在△AMO和△ONB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMO=∠BNO}\\{∠MAO=∠NOB}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△AMO≌△ONB．
∴ON=AM，OM=BN．
∵AM=8，BN=6，
∴MN=AM+BN=14．
（3）PB的长为定值．
理由：如图所示：过点E作EG⊥y轴于G点．

∵△AEB为等腰直角三角形，
∴AB=EB，∠ABO+∠EBG=90°．
∵EG⊥BG，
∴∠GEB+∠EBG=90°．
∴∠ABO=∠GEB．
在△ABO和△EGB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EGB=∠BOA}\\{∠ABO=∠GEB}\\{AB=EB}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△EGB．
∴BG=AO=10，OB=EG
∵△OBF为等腰直角三角形，
∴OB=BF
∴BF=EG．
在△BFP和△GEP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EGP=∠FBP}\\{∠EPG=∠FPB}\\{EG=BF}\end{array}\right.$，
∴△BFP≌△GEP．
∴BP=GP=$\frac{1}{2}$BG=5．