Question

11．如图，四边形ABCD是矩形，E是CD上一点，连接AE，取AE的中点G，连接DG并延长交CB延长线于点F，连接AF，∠AFC=3∠EAD，若DG=4，BF=1，则AB的长为$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 先证出MG=DG，证明四边形AMED是矩形，得出AG=MG=DG=4，再证出∠AFG=∠AGF，得出AF=AG，在Rt△ABF中，根据勾股定理即可求出AB的长．

解答 解：如图所示：连接EM，
∵G是AE的中点，
∴AG=EG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠ABC=∠ABF=90°，AB∥DC，AD∥BC，
∴$\frac{MG}{DG}=\frac{AG}{EG}$=1，
∴MG=DG，
∴四边形AMED是矩形，
∴AG=MG=DG=4，
∴∠GDA=∠EAD，
∵AD∥BC，
∴∠GDA=∠DFC，
∵∠AFC=3∠EAD，∠AGF=∠EAD+∠GDA，
∴∠AFG=∠AGF，
∴AF=AG=4，
在Rt△ABF中，AB=$\sqrt{{4}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{15}$；
故答案为：$\sqrt{15}$．

点评 本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．