Question

4．如图，在平行四边形ABCD中，AM⊥BD于M，CN⊥BD于N，连接CM、AN
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）若∠CBD=30°，∠ABD=45°，AM=2．求平行四边形ABCD的周长．

Answer 1

分析 （1）根据垂直，利用内错角相等两直线平行可得AM∥CN，在根据平行四边形的性质证明△ABM与△CDN全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=CN，然后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
（2）由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，推出∠ADB=∠CBD=30°，由于AM⊥BD，∠ABM=45°，AM=2，得到AB=$\sqrt{2}$AM=2$\sqrt{2}$，AD=2AM=4，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵AM⊥BD于点M，CN⊥BD于点N，
∴∠AMN=∠CNM=90°，
∴AM∥CN（内错角相等，两直线平行），
在平行四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABM=∠CDN，
在△ABM与△CDN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABM=CDN}\\{∠AMB=∠CND=90°}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CDN（AAS），
∴AM=CN，
∴四边形AMCN是平行四边形；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD=30°，
∵AM⊥BD，∠ABM=45°，AM=2，
∴AB=$\sqrt{2}$AM=2$\sqrt{2}$，AD=2AM=4，
∴?ABCD的周长=（2$\sqrt{2}$+4）×2=4$\sqrt{2}$+8．

点评 本题考查了平行四边形的性质与判定，利用三角形全等证明得到AM=CN是证明的关键．