Question

1．如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．
（1）求证：DF∥AO；
（2）若AC=6，AB=10，求CG的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明DF∥OA，只要证明OA⊥CD，DF⊥CD即可；
（2）过点作EM⊥OC于M，易知$\frac{EM}{CG}$=$\frac{FM}{FC}$，只要求出EM、FM、FC即可解决问题；

解答 （1）证明：连接OD．
∵AB与⊙O相切与点D，又AC与⊙O相切与点，
∴AC=AD，∵OC=OD，
∴OA⊥CD，
∴CD⊥OA，
∵CF是直径，
∴∠CDF=90°，
∴DF⊥CD，
∴DF∥AO．

（2）过点作EM⊥OC于M，
∵AC=6，AB=10，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=8，
∴AD=AC=6，
∴BD=AB-AD=4，
∵BD²=BF•BC，
∴BF=2，
∴CF=BC-BF=6．OC=$\frac{1}{2}$CF=3，
∴OA=$\sqrt{A{C}^{2}+O{C}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵OC²=OE•OA，
∴OE=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∵EM∥AC，
∴$\frac{EM}{AC}$=$\frac{OM}{OC}$=$\frac{OE}{OA}$=$\frac{1}{5}$，
∴OM=$\frac{3}{5}$，EM=$\frac{6}{5}$，FM=OF+OM=$\frac{18}{5}$，
∴$\frac{EM}{CG}$=$\frac{FM}{FC}$=$\frac{3.6}{6}$=$\frac{3}{5}$，
∴CG=$\frac{5}{3}$EM=2．

点评 本题考查切线的性质、直径的性质、切线长定理、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．