Question

6．如图1，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点C，AD⊥CD于点D，交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若4AB=5AD，求证：AE=3DE；
（3）如图2，在（2）的条件下，CF交⊙O于点F，若AB=10，∠ACF=45°，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，如图1①，易证OC∥AD，只需结合OA=OC就可解决问题；
（2）连接BC、EC、OC，如图1②，设AB=5x，由4AB=5AD可得AD=4x，易证△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质可求出DC²（用x表示），然后运用切割线定理求出DE，即可得到AE，问题得以解决；
（3）过点A作AH⊥FC，连接AF，如图2，由条件AB=10可求出x，从而可求出AC、AF，然后只需解△ACF就可解决问题．

解答 解：（1）连接OC，如图1①，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠CAD=∠ACO．
又∵OC=OA，
∴∠ACO=∠OAC，
∴∠CAD=∠OAC，
∴AC平分∠DAB；

（2）连接BC、EC、OC，如图1②，
设AB=5x，则由4AB=5AD可得AD=4x．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=90°．
∵∠DAC=∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴AC²=AD•AB=20x²，
∴DC²=AC²-AD²=20x²-16x²=4x²．
∵直线CD与⊙O相切，
∴根据切割线定理可得CD²=DE•DA，
∴4x²=DE•4x，
∴DE=x，
∴AE=3x=3DE；

（3）过点A作AH⊥FC，连接AF，如图2，
∵AB=5x=10，
∴OA=OF=5，x=2，
∴AC²=20x²=80，
∴AC=4$\sqrt{5}$．
∵∠ACF=45°，
∴AH=AC•sin∠ACH=4$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{10}$，
CH=AC•cos∠ACH=4$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{10}$．
∵∠AOF=2∠ACF=90°，
∴AF=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴FH=$\sqrt{A{F}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴FC=CH+FH=3$\sqrt{10}$，
即CF的长为3$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、切割线定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解三角形、平行线的判定与性质等知识，把求CF转化为解△ACF是解决第（3）小题的关键．