题目内容

如图，O为矩形ABCD的中心（AB＜BC），过O且互相垂直的两条直线被矩形四边所截，设截得的线段EF和GH长度分别为x，y，四边形EGFH的面积为S，当这两条直线保持垂直且围绕O点不停旋转时，下列说法正确的是（　　）
①某一阶段，y随x的增大面增大，y是x的正比例函数
②某一阶段，y随x的增大面减小，y是x的反比例函数
③仅当四边形EGFH与矩形一条对角线重合时，S最大
④仅当四边形EGFH的两条对角线长度相等时，S最小．
A、①②B、①③
C、①②③D、①③④
考点：反比例函数综合题
专题：综合题
分析：作EM⊥BC于M，GN⊥CD于N，连结EG、GF、FH、HE，由EF⊥GH得∠2+∠OQG=90°，由EM⊥GN得∠1+∠EQP=90°，则∠1=∠2，可判断Rt△EMF∽Rt△GNH，利用相似比得到
x
y
=
EM
GN
，而EM=AB，GN=BC，则y=
BC
AB
•x，所以y是x的正比例函数，可对①②进行判断；由AB＜BC可对④进行判断；根据O为矩形ABCD的中心（AB＜BC），EF和GH过点O，且互相垂直得EF互相垂直平分，于是得到四边形EGFH为菱形，则S菱形EGFH=
1
2
EF•GH=
BC
2AB
•x2，根据二次函数的性质，当x＞0时，S随x的增大而增大，而x的最大值为矩形的对角线，所以当四边形EGFH与矩形一条对角线重合时，S最大，则可对③进行判断．
解答：解：作EM⊥BC于M，GN⊥CD于N，EM与GN相交于P点，EF与GN交于Q点，如图，
∵EF⊥GH，
∴∠2+∠OQG=90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴GN∥BC，
∴EM⊥GN，
∴∠1+∠EQP=90°，
∴∠1=∠2，
∴Rt△EMF∽Rt△GNH，
∴
EF
GN
=
EM
GN
，即
x
y
=
EM
GN
，
易得EM=AB，GN=BC，
∴
x
y
=
AB
BC
，
∴y=
BC
AB
•x，所以①正确，②错误；
∵AB＜BC，
∴x与y不相等，所以④错误；
∵O为矩形ABCD的中心（AB＜BC），EF和GH过点O，且互相垂直，
∴EF互相垂直平分，
∴四边形EGFH为菱形，
∴S菱形EGFH=
1
2
EF•GH=
1
2
x•y=
1
2
x•
BC
AB
•x=
BC
2AB
•x2，
当x＞0时，S随x的增大而增大，而x的最大值为矩形的对角线，
∴仅当四边形EGFH与矩形一条对角线重合时，S最大，所以③正确．
故选B．
点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数和正比例函数的定义和性质、二次函数的性质、矩形的性质和菱形的判定与性质；会运用相似三角形的知识解决线段之间的关系．
练习册系列答案
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如图，AB切⊙O于点A，BO交⊙O于点C，点D是优弧
AC
上一点，若∠ABO=40°，则∠ADC=
 
°．
如图，已知梯形OABC的底边D在x轴上，CB∥OA，BA⊥OA，过点C的双曲线y=
k
x
盘交OB于D，且OD：DB=1：2．若S△BOC=3，则k的值为
 
．
下列计算错误的是（　　）
A、-15+20=5
B、
12
=2
3
C、4
3
-2
3
=2
D、-3-8=-11
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A、（4，1）
B、（9，-4）
C、（-6，7）
D、（-1，2）
二次函数y=-x2-3x+c上有两点A（2，y1），B（-4，y2），则y1，y2的大小关系为（　　）
A、y1＞y2
B、y1＜y2
C、y1=y2
D、无法确定
根据阿里巴巴集团公布的消息称，从11•11购物狂欢节正式开启，截至11•11日24点，淘宝网11•11购物节支付宝总销售额达到191亿元，创造了中国零售新纪录，请用科学记数表示191亿元为（　　）
A、1.91×1011元
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在平面直角坐标系xOy中，将直线y=2x向下平移2个单位后，与一次函数y=-
1
2
x+3的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）若P是x轴上一点，且满足△OAP是等腰直角三角形，直接写出点P的坐标．

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