Question

如图，直线y=kx+c与抛物线y=ax²+bx+c的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD．直线y=kx+c与x轴交于点C（点C在点B的右侧）．则下列命题①abc＞0，②3a+b＞0，③-1＜k＜0，④k＞a+b，⑤ac+k＞0．其中正确的是

 

．

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：根据抛物线的性质逐项判断即可．由抛物线的开口判断a的符号；由对称轴判断b及b与2a的关系；还可由图象上点的坐标判断．

解答：解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0．
∵抛物线对称轴是x=1，
∴b＜0且b=-2a．
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0．
∴①abc＞0错误；
②3a+b＞0正确；
∵直线y=kx+c经过一、二、四象限，
∴k＜0．
∵OA=OD，
∴点A的坐标为（c，0）．
直线y=kx+c当x=c时，y＞0，
∴kc+c＞0可得k＞-1．
∴③-1＜k＜0正确；
∵直线y=kx+c与抛物线y=ax²+bx+c的图象有两个交点
∴ax²+bx+c=kx+c，
得x₁=0，x2=

k-b

a

．
由图象知x₂＞1，
∴

k-b

a

＞1
∴k＞a+b
∴④k＞a+b正确；
∵

2a+b=0 a+b=-1

，
∴

a=1 b=-2

．
又∵c＜1，
∴ac＜1．
∵-1＜k＜0，
∴0＜ac+k＜1．
∴⑤ac+k＞0错误．
故答案为②③④．

点评：本题主要考查了抛物线的性质，利用图象判断系数的符号以及一次函数的性质．